Hipoteza ABC

Hipoteza ABC (hipoteza Oesterle-Massera) – zagadnienie z teorii liczb. Po raz pierwszy problem został przedstawiony przez Josepha Oesterlé i Davida Massera w 1985 roku.

Sformułowanie problemu

Rozwiązaniem problemu ABC nazywana jest każda trójka względnie pierwszych liczb całkowitych dodatnich, spełniających równość ${\displaystyle A+B=C.}$

Potęga ABC-rozwiązania to liczba

${\displaystyle P(A,B,C)=\log C\ /\ \log N(A,B,C),}$

gdzie ${\displaystyle N(A,B,C)}$ oznacza tzw. część bezkwadratową iloczynu ${\displaystyle ABC,}$ czyli iloczyn wszystkich różnych czynników pierwszych liczb ${\displaystyle A,B,C.}$ (Na przykład: ${\displaystyle N(4,9,13)=2\cdot 3\cdot 13=78,}$ bo w rozkładzie 4, 9 i 13 na czynniki pierwsze występują tylko 2, 3 i 13).

Na podstawie tego przykładu można stwierdzić, że liczba jest duża, gdy wszystkie trzy liczby dzielą się przez potęgi liczb pierwszych o dużych wykładnikach.

Hipoteza ABC to przypuszczenie:

Dla każdej liczby ${\displaystyle x>1}$ istnieje co najwyżej skończenie wiele rozwiązań typu ${\displaystyle ABC,}$ spełniających warunek ${\displaystyle P(A,B,C)>x.}$

Dowód

W sierpniu 2012 Shinichi Mochizuki opublikował na swojej stronie internetowej ponad 600-stronicową pracę, zawierającą dowód hipotezy ${\displaystyle ABC}$^[1]. Dowód jest w trakcie weryfikacji^[2][3]. 3 kwietnia 2020 na konferencji prasowej w Kioto ogłoszono, że praca ta została zaakceptowana do druku^[4].

Poszukiwania

W 2006 roku na wydziale matematyki Uniwersytetu w Leiden, we współpracy z holenderskim instytutem nauki w Kennislink rozpoczęto projekt ABC@home oparty na przetwarzaniu rozproszonym w infrastrukturze BOINC. Celem projektu jest szukanie dodatkowych trójek ${\displaystyle (a,b,c)}$ z ${\displaystyle \mathrm {rad} (abc)<c.}$

Konsekwencje

W czasie badania hipotezy odkryto wiele ciekawych przypadków w teorii liczb. Oto niektóre z nich:

• rozwiązanie twierdzenia Rotha,
• udowodnienie wielkiego twierdzenia Fermata (Andrew Wiles, 1993),
• udowodnienie hipotezy Mordella (Gerd Faltings, 1983),
• kontrprzykłady dla hipotezy Erdősa-Woodsa (z wyjątkiem liczb skończonych),
• uogólnienie teorii Tijdemana,
• rozwiązanie hipotezy Granville-Langevin,
• rozwiązanie zmodyfikowanej hipotezy Szpiro,
• w 1996 r. A. Dąbrowski wykazał, że z hipotezy ABC można wyprowadzić rozwiązanie równania Brocarda-Ramanujana^[5] – jest to uogólnienie twierdzenia Overholta^[6].

Przypisy

Bibliografia

• Wiktor Bartol, Witold Sadowski, O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty, Warszawa 2005.

Linki zewnętrzne

• Oficjalna strona projektu ABC@home
• Hipoteza ABC
• Historia Twierdzenia Fermata