| ||||||||||||||||
Yang-Hui-Quadrat |
Ein magisches Quadrat ist eine quadratische Anordnung von Zahlen oder Buchstaben, die bestimmte Forderungen erfüllt.
Die Definition eines normalen magischen Quadrates lautet:
„Ein magisches Quadrat der Kantenlänge ist eine quadratische Anordnung der natürlichen Zahlen , sodass die Summe der Zahlen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen gleich ist. Diese Summe wird als die magische Zahl des magischen Quadrates bezeichnet.“
Die Kantenlänge wird als Ordnung der magischen Quadrate verwendet.
Es ist auch erkennbar, dass jede arithmetische Folge für ein magisches Quadrat geeignet ist. Es gibt noch zahlreiche Varianten von magischen Quadraten, bei denen nicht alle diese Bedingungen erfüllt sind oder zusätzliche Einschränkungen gefordert sind (siehe unten).
Semimagisches Quadrat
Zahlenquadrate, bei denen nicht auch die beiden Diagonalen die magische Zahl oder die Zielsumme ergeben, gelten als misslungen und dissonant. Sie streben nach Auflösung des Widerspruches. Diese misslungenen Zahlenquadrate werden als semimagische Quadrate bezeichnet.
Semimagisches Quadrat 3. Ordnung mit der 7 im mittleren Feld und den Zahlen 1 bis 9.
9 | 2 | 4 |
5 | 7 | 3 |
1 | 6 | 8 |
Für die Auflösung des Widerspruches gibt es bei Quadraten der dritten Ordnung zwei Wege. Der erste Weg führt über die Anpassung des mittleren Elementes bei Beibehaltung der Zielsumme. Der zweite Weg ändert die Zielsumme bei unverändertem mittleren Element. Man kann immer reelle Lösungen mit Übereinstimmung von drei Elementen finden. Von Interesse sind daher Lösungen mit mehr als drei übereinstimmenden Elementen.
Die Reihensumme wird als magische Zahl bezeichnet. Es ist offensichtlich, dass die magische Zahl mal der Summe der Zahlen von 1 bis sein muss:
Denn: Sei die Summe der Zahlen einer Zeile. Wir haben Zeilen, die alle die gleiche Zeilensumme haben sollen; und die Summe über alle Zeilen, also , ist gleich der Summe aller Einträge des Quadrats, also identisch mit (Gaußsche Summenformel).
Die ersten magischen Zahlen beginnend mit sind
Darin sind die ersten drei Glieder hypothetisch. Ein magisches Quadrat der Kantenlänge 1 ist trivial. Für die Kantenlänge 2 gibt es keine Lösung mit vier unterschiedlichen Zahlen.
Es ist offensichtlich, dass durch Rotation um 90°, 180° und 270° sowie durch Spiegelung an den Hauptachsen und Diagonalen aus einem magischen Quadrat wieder ein magisches Quadrat entsteht. Diese acht magischen Quadrate sind äquivalent; es genügt, eines davon zu untersuchen. Es hat sich eingebürgert, hier die Frénicle-Standardform zu verwenden:
Zu jedem normalen magischen Quadrat kann ein Komplement gebildet werden. Für die Bildung des komplementären Quadrates sind alle Einträge mit −1 zu multiplizieren und anschließend zu jedem Eintrag die Konstante zu addieren. Die Elemente im Ausgangsquadrat und im Komplement ergänzen sich damit zu . Das komplementäre Quadrat hat dieselbe Struktur wie das Ausgangsquadrat. Die Komplementbildung ist keine Tauschoperation, da sie nicht unabhängig von der Struktur des Ausgangsquadrates ist. Magische Quadrate mit bestimmten Strukturen können selbstkomplementär sein, d. h., das Komplement ist dann äquivalent zum Ausgangsquadrat. Von den 12 Strukturen der Ordnung 4 sind die magischen Quadrate der 3. und 6. Struktur selbstkomplementär.
Der exakte Vergleich erfolgt durch Einordnung der magischen Quadrate in die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems. Das entspricht der Einordnung in den nichtgeometrischen Vektorraum. Jedes magische Quadrat hat seinen genau bestimmbaren Platz in der Lösungsmenge. Die Lösungsmenge ist ein vorzügliches Beispiel für einen nichtgeometrischen Vektorraum. Bei magischen Quadraten höherer Ordnung kommt die Methode der Einordnung an Grenzen der Vorstellungskraft. Für magische Quadrate 3. und 4. Ordnung ist sie jedoch didaktisch sehr interessant. Bei höherer Ordnung muss man auf Strukturanalyse und die Methode der Korrelation zurückgreifen.
Alle magischen Quadrate besitzen eine innere Struktur. Diese Strukturen sind je nach Ordnung des Quadrates verschieden und werden mit steigender Ordnung immer komplexer. Für normale magische Quadrate 4. Ordnung sind genau 12 Strukturgruppen mit identischer Paarsumme existent. Nach ihrem Entdecker Henry Dudeney werden diese auch Dudeney-Muster[1] genannt. Die Bilder der Strukturen[2] können zur Analyse der Symmetrieeigenschaften der magischen Quadrate verwendet werden.
Allgemeine reelle Zahlenquadrate bestehen aus reellen Zahlen. Ihre einzige Bedingung ist, dass Zeilen, Spalten und Diagonalen dieselbe Summe ergeben. Die Summe ist frei wählbar. Allgemeine reelle Zahlenquadrate sind Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems. Das Gleichungssystem hat lineare Gleichungen.
Beispiel eines Ergebnisses der Lösungsmenge dritter Ordnung und :
−0,5 | 2 | 0 |
1 | 0,5 | 0 |
1 | −1 | 1,5 |
Eine herausragende Eigenschaft allgemeiner reeller Zahlenquadrate dritter Ordnung ist, dass das mittlere Zahlenelement immer das arithmetische Mittel aller Zahlen des Quadrates enthält. Das mittlere Zahlenelement ist daher nicht nur vom räumlichen Begriff her der Mittelwert, sondern auch gleichzeitig vom numerischen Begriff.[3]
Legt man als weitere Bedingung fest, dass das Zahlenquadrat nur aus natürlichen Zahlen besteht, so erhält man für jede Zielsumme eine endliche Lösungsmenge. Für Quadrate 3. Ordnung und gibt es 25 Lösungen (15 mit und 10 ohne Wiederholung von Zahlen).
14 | 7 | 6 |
1 | 9 | 17 |
12 | 11 | 4 |
Die Zielsumme ist eine freie Variable der Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems. Man kann daher für die Zielsumme auch die errechnete magische Zahl einsetzen. Bei der magischen Zahl 15 erhält man so 9 Lösungen (8 mit und 1 ohne Wiederholung von Zahlen). Das ist das Lo-Shu und sein Hofstaat.
Erfüllt ein magisches Quadrat zusätzlich die Bedingung, dass die Summen zweier Elemente, die punktsymmetrisch zum Mittelpunkt (bei geraden) oder zum zentralen Element (bei ungeraden magischen Quadraten) liegen, gleich sind, so wird es symmetrisches magisches Quadrat genannt. Es ist genauer die Bezeichnung zentralsymmetrisches magisches Quadrat oder assoziatives magisches Quadrat zu verwenden. Wie man leicht zeigen kann, muss die Summe zweier solcher Elemente betragen; bei ungeraden symmetrischen magischen Quadraten hat das Mittelfeld den Wert . Symmetrische magische Quadrate haben die einfachste innere Struktur der magischen Quadrate. Das magische Quadrat 3 mal 3 ist ein symmetrisches magisches Quadrat. Bei den magischen Quadraten 4 mal 4 ist nur eine der 12 Strukturgruppen (Gruppe 3) die Gruppe der symmetrischen magischen Quadrate. Sie ist in den Strukturbildern die sternförmige Darstellung.
Bei symmetrischen magischen Quadraten kann das Komplement des Ausgangsquadrates durch Rotation um 180° immer auf das Ausgangsquadrat abgebildet werden, d. h., alle symmetrischen magischen Quadrate sind selbstkomplementär (selbstähnlich).
Bei einem pandiagonalen magischen Quadrat muss nicht nur die Summe der Diagonalen, sondern auch die der gebrochenen Diagonalen gleich sein. Die gebrochenen Diagonalen verlaufen parallel zur Haupt- bzw. Gegendiagonale, wobei Elemente außerhalb des Quadrats um eine Kantenlänge verschoben werden. Im Gegensatz zu symmetrischen magischen Quadraten ist bei Quadraten mit pandiagonaler Eigenschaft diese besondere Eigenschaft nicht immer unmittelbar aus dem Bild der inneren Struktur ablesbar. Die kleinstmögliche Ordnung für Quadrate mit pandiagonaler Eigenschaft ist die 4. Ordnung. Die Strukturgruppe 1 der Quadrate 4. Ordnung besteht aus den 48 pandiagonalen Quadraten. Bei magischen Quadraten höherer Ordnung gibt es mehrere Strukturgruppen die aus Quadraten mit pandiagonaler Eigenschaft bestehen oder solche enthalten. Die magischen Quadrate der symmetrischen Strukturgruppe der 5. Ordnung haben nur teilweise die pandiagonale Eigenschaft. Die symmetrische Strukturgruppe ist eine Hauptstrukturgruppe. Bei Hauptstrukturgruppen steht der Mittelwert im Mittelfeld des Quadrates. Bei 5 mal 5 ist das der Wert 13. Diese Festlegung sichert die unverzerrte Darstellung der inneren Struktur. Jedes ungerade pandiagonale Quadrat kann durch Verschieben im Verschiebungscluster in ein Quadrat dieser Struktur gebracht werden. Es gibt bei der 5. Ordnung noch drei weitere Hauptstrukturgruppen die aus pandiagonalen Quadraten bestehen. Diese unverzerrten Strukturen sind ästhetisch reizvoll und zeigen den mathematischen Zusammenhang zwischen Mittelwertsbildung und Symmetrie. Durch Verschieben im Verschiebungscluster werden zu jeder Hauptstrukturgruppe die Nebenstrukturgruppen gebildet.
Magische Quadrate, die sowohl symmetrisch als auch pandiagonal sind, nennt man ultramagisch.
Es gibt zahlreiche Varianten von magischen Quadraten, bei denen die Forderung fallengelassen wird, dass nur die Zahlen von 1 bis vorkommen sollen, dafür aber zusätzliche Bedingungen erfüllt sein müssen. Die bekanntesten davon sind magische Primzahlenquadrate, bei denen sämtliche Elemente Primzahlen (oder 1) sein müssen.
Das magische Primzahlenquadrat 3. Ordnung mit der kleinstmöglichen magischen Summe von 111 wurde im Jahr 1900 von Henry Ernest Dudeney entdeckt, der die 1 als Primzahl ansah.[4][5] Es galt seinerzeit als das erste magische Primzahlenquadrat in der Lösungsmenge allgemeiner magischer Quadrate 3. Ordnung.[6][5]
67 | 1 | 43 |
13 | 37 | 61 |
31 | 73 | 7 |
Das erste echte magische Primzahlenquadrat 3. Ordnung hat die kleinstmögliche magische Summe von 177.[5]
17 | 89 | 71 |
113 | 59 | 5 |
47 | 29 | 101 |
Für den Mittelwert 127 gibt es erstmals zwei verschiedene[5] magische Primzahlenquadrate in der Lösungsmenge allgemeiner magischer Quadrate 3. Ordnung.
Es gibt ein (triviales) magisches Quadrat mit Kantenlänge 1, jedoch keines mit Kantenlänge 2. Abgesehen von Symmetrieoperationen oder angegeben in der Frénicle-Standardform, gibt es auch nur ein einziges normales magisches Quadrat mit Kantenlänge 3 (siehe unter Lo-Shu). Alle 880 magischen Quadrate mit Kantenlänge 4 wurden bereits 1693 von Frénicle de Bessy gefunden. Mit Kantenlänge 5 gibt es 275.305.224 magische Quadrate; darüber hinaus sind keine genauen Zahlen bekannt, es gibt jedoch bis etwa relativ verlässliche Abschätzungen. Die weitestreichenden Berechnungen wurden von Walter Trump durchgeführt.[7] Auch die Anzahl symmetrischer, pandiagonaler und ultramagischer Quadrate für kleinere ist bekannt, beispielsweise gibt es 48 symmetrische magische Quadrate mit Kantenlänge 4 und 16 ultramagische Quadrate mit Kantenlänge 5.
Ein Beispiel ist das älteste bekannte magische Quadrat aus China ca. 2800 v. Chr. In Europa wurde es im 16./17. Jahrhundert Saturn-Siegel (Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim, ca. 1510 und Athanasius Kircher, Arithmologia 1665) genannt.
4 | 9 | 2 |
3 | 5 | 7 |
8 | 1 | 6 |
Das Lo-Shu ist das einzige normale magische Quadrat der Größe 3 mal 3.
Eines der berühmtesten magischen Quadrate ist in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I zu finden.
16 | 3 | 2 | 13 |
5 | 10 | 11 | 8 |
9 | 6 | 7 | 12 |
4 | 15 | 14 | 1 |
Das Dürer-Quadrat hat folgende Eigenschaften:
Normale Symmetrieeigenschaften magischer Quadrate 4 mal 4:
Zusätzliche Symmetrieeigenschaften des Dürer-Quadrates:
16 | 2 | 3 | 13 |
5 | 11 | 10 | 8 |
9 | 7 | 6 | 12 |
4 | 14 | 15 | 1 |
Im 16./17. Jahrhundert setzte eine intensive Beschäftigung mit magischen Quadraten ein. Die Universalgelehrten Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim und Athanasius Kircher entwickelten mehrere magische Quadrate höherer (bis 9 mal 9) Ordnung. Es wurden auch Algorithmen für Erstellung gerader und ungerader magische Quadrate in den Werken angegeben. Auf Agrippa geht die Zuordnung von bestimmten magischen Quadraten zu Gestirnen zurück. Das Jupiter-Quadrat des Agrippa ist identisch mit dem 4 mal 4 Quadrat des Yang Hui. Die magischen Quadrate mit der Bezeichnung/ Zuordnung zu Gestirnen fanden auf vielen Amuletten Verwendung.
Die der Passion gewidmete Fassade der Sagrada Família in Barcelona, ein Werk des Bildhauers Josep Maria Subirachs, enthält ein magisches Quadrat:
1 | 14 | 14 | 4 |
11 | 7 | 6 | 9 |
8 | 10 | 10 | 5 |
13 | 2 | 3 | 15 |
Es ist kein magisches Quadrat im engeren Sinne, weil nicht alle Zahlen von 1 bis 16 vorkommen (es fehlen 12 und 16), 10 und 14 kommen hingegen doppelt vor. Die magische Zahl ist 33, eine Anspielung auf das Lebensalter Christi. Das Zahlenquadrat an der Sagrada Família kann durch Subtraktion von 1 bei 4 Elementen aus dem Dürer-Quadrat erzeugt werden. Es stimmen daher die Werte von 12 Elementen mit dem Dürer-Quadrat überein. Die 4 veränderten Elemente wurden so gewählt, dass alle Zeilen, Spalten, Diagonalen und Blöcke/ Quadranten jeweils einmal erreicht werden.
Elemente im Dürer-Quadrat, von deren Wert jeweils 1 subtrahiert wird:
Danach ist noch eine Rotation um 180° vorzunehmen. Die Subtraktion bei den 4 Elementen bewirkt eine Strukturänderung. Das Quadrat an der Sagrada Família ist nicht zentralsymmetrisch. Es hat eine bipolare Struktur, d. h., die Summe der gegenüberliegenden Elemente beträgt 16 oder 17.
Es gibt viele Interpretationen des Hexeneinmaleins aus Goethes Faust. Neben der Annahme, dass es sich schlicht um Unsinn handelt, wurde es auch als Konstruktionsanleitung für ein magisches Quadrat gedeutet – eine Deutung, die nicht hundertprozentig überzeugt.
Zur Konstruktion magischer Quadrate gibt es verschiedene Verfahren, die von der Kantenlänge abhängen. Das einfachste Verfahren, genannt siamesische Methode oder De-la-Loubère-Methode, funktioniert für alle magischen Quadrate mit ungerader Kantenlänge (also 3×3, 5×5, 7×7 etc.). Man fängt oben in der Mitte mit 1 an und füllt dann die anderen Zahlen der Reihe nach gemäß der folgenden Regel in die anderen Felder ein:
Hierbei wird das magische Quadrat als periodisch wiederholt angesehen, d. h., wenn man über den oberen Rand hinausgeht (das passiert schon beim ersten Schritt), kommt man von unten wieder hinein, und wenn man rechts hinausgeht, dann kommt man von links wieder hinein. Hier ein nach dieser Regel konstruiertes 7×7-Quadrat:
30 | 39 | 48 | 1 | 10 | 19 | 28 |
38 | 47 | 7 | 9 | 18 | 27 | 29 |
46 | 6 | 8 | 17 | 26 | 35 | 37 |
5 | 14 | 16 | 25 | 34 | 36 | 45 |
13 | 15 | 24 | 33 | 42 | 44 | 4 |
21 | 23 | 32 | 41 | 43 | 3 | 12 |
22 | 31 | 40 | 49 | 2 | 11 | 20 |
Aufbauend auf der siamesischen Methode können mit Hilfe der LUX-Methode von John Horton Conway weitere magische Quadrate mit doppelter Ordnung erzeugt werden.
Zwei weitere Verfahren sind für Quadrate mit gerader Kantenlänge, wobei das eine für alle Quadrate ist, deren Kantenlänge durch 4 teilbar ist, das andere für die, bei denen der Rest 2 beim Teilen durch 4 bleibt.
Ein spielerisches Verfahren zur Konstruktion magischer Quadrate gerader Ordnungen größer als 4 geht mit Hilfe von Medjig-Lösungen. Hierzu braucht man die Spielteile des Medjig-Puzzles.[8] Das sind in vier Quadranten verteilte Quadrate, worauf mit Punkten die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in verschiedenen Anordnungen angegeben sind. Das Puzzle hat 18 Teile, alle Anordnungen gibt es dreimal. Siehe Abbildung unten. Das Ziel des Puzzles ist willkürlich 9 Quadrate der Versammlung zu entnehmen und diese Teilversammlung in ein 3×3-Quadrat zu legen, so dass in jeder entstandenen Zeile, Spalte und Diagonale die Summe von 9 (Punkten) ergibt.
Die Konstruktion eines magischen Quadrates der Ordnung 6 mit Hilfe des Medjig-Puzzles geht wie folgt: Mache eine 3×3-Medjig-Lösung, dazu kann man diesmal unbeschränkt aus der Totalversammlung wählen. Dann nimmt man das bekannte klassische magische Quadrat der Ordnung 3, und verteile alle Felder davon in vier Quadranten. Als Nächstes fülle man die Quadranten mit der ursprünglichen Zahl und den drei abgeleiteten modulo-9-Zahlen bis 36, der Medjig-Lösung folgend. Das ursprüngliche Feld mit der Zahl 8 wird also verteilt in vier Feldern mit den Zahlen , , und , das Feld mit der Zahl 3 wird 3, 12, 21 und 30 usw.; siehe untenstehendes Beispiel.
|
+ 9 * |
|
= |
|
Auf gleiche Weise kann man magische Quadrate der Ordnung 8 erzeugen. Man erzeuge dazu erst eine 4×4-Medjig-Lösung (Summe der Punkte jeder Reihe, Spalte, Diagonale 12), und vergrößere danach z. B. das oben abgebildete 4×4-Quadrat von Dürer modulo 16 bis 64. Im Allgemeinen braucht man für die Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung größer als 9 auf diese Weise mehrere Sätze Medjig-Teile. Für die Ordnung 12 kann man eine 3×3-Medjig-Lösung horizontal und vertikal verdoppeln, und danach das oben konstruierte 6×6-Quadrat modulo 36 ausbreiten nach 144. Ähnlich geht es mit Ordnung 16.
Magische Quadrate der Größe 4×4 mit der magischen Zahl kann man anhand des folgenden Schemas konstruieren, wobei die Variablen und für beliebige ganze Zahlen stehen:
|
|
|
Die magische Zahl beträgt jeweils . Soll z. B. den Wert 88 betragen, zieht man ein ganzzahliges Vielfaches von 21 ab, der Rest ist dann die Zahl . Zum Beispiel (wie im rechten Quadrat gezeigt): .
Magische Quadrate dieser Art bestehen im Allgemeinen nicht aus den Zahlen 1, 2, 3, …, 16, und bei ungünstiger Wahl der Werte und können zwei Felder die gleiche Zahl enthalten. Die magische Zahl ist dafür nicht nur in den Zeilen, Spalten und Diagonalen enthalten, sondern auch in den vier Quadranten, in den vier Eckfeldern sowie im kleinen Quadrat der vier innen liegenden Felder.
Die magischen 4×4-Quadrate, bei denen auch die Quadranten die magische Summe ergeben, können – wenn man auf die Eigenschaft, dass jede der Zahlen von 1 bis 16 genau einmal vorkommen soll, verzichtet – als Linearkombination der folgenden acht erzeugenden, zueinander kongruenten Quadrate dargestellt werden:
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Man beachte, dass diese acht erzeugenden Quadrate nicht linear unabhängig sind, denn
d. h., es gibt eine nichttriviale Linearkombination (eine Linearkombination, deren Koeffizienten nicht alle = 0 sind), die das 0-Quadrat ergibt. Anders ausgedrückt: Jedes der acht erzeugenden Quadrate lässt sich als Linearkombination der übrigen sieben darstellen. Sieben erzeugende Quadrate sind aber nötig, um alle magischen 4×4-Quadrate mit der Zusatzeigenschaft „Quadranten“ zu erzeugen; der Vektorraum der magischen 4×4-Quadrate, die von diesen Quadraten erzeugt wird, ist in diesem Sinn 7-dimensional. Bemerkenswert ist, dass in allen acht erzeugenden Quadraten A–H wie in Albrecht Dürers magischem Quadrat nicht nur Zeilen, Spalten und Diagonalen immer dieselbe Summe liefern (1), sondern auch jeder der vier „Quadranten“, die vier Zentrumsfelder und die vier Eckfelder. Das heißt, dass alle magischen Quadrate, die wir als Linearkombinationen dieser Erzeugenden gewinnen, diese Eigenschaft haben. Die Kongruenz der erzeugenden Quadrate ermöglicht z. B., aus A durch Drehung F, E und G zu erzeugen und daraus D, B, H und C durch Spiegelung.
Das magische Quadrat aus dem Kupferstich Melencolia I Albrecht Dürers als Linearkombination der erzeugenden Quadrate A–G:
Die Summe der Koeffizienten ist natürlich .
Dass die 4 Quadranten auch die magische Summe ergeben, muss nicht unbedingt so sein. Folgendes magische Quadrat hat diese Eigenschaft nicht und ist daher linear unabhängig zu den Quadraten A–H:
1 | 2 | 15 | 16 |
13 | 14 | 3 | 4 |
12 | 7 | 10 | 5 |
8 | 11 | 6 | 9 |
Nimmt man dieses Quadrat noch zu 7 der Quadrate A–H, so erhält man eine Basis für den 8-dimensionalen Vektorraum aller magischen 4×4-Quadrate. Die Summe der Ecken und der vier Zentrumsfelder ist auch bei diesem Quadrat (wie bei allen magischen 4×4-Quadraten) die magische Summe.
Ein magisches Buchstabenquadrat ist eine Denksportaufgabe, wobei in den Zeilen und Spalten des Quadrats jeweils gleiche Wörter entstehen. Ein Beispiel hierfür ist das Sator-Quadrat:
S | A | T | O | R |
A | R | E | P | O |
T | E | N | E | T |
O | P | E | R | A |
R | O | T | A | S |
Ein Zahlenrätsel kann dadurch erzeugt werden, dass von einem magischen Quadrat Zahlen weggenommen werden. Die Aufgabe des Rätsellösers ist es, die fehlenden Zahlen wieder einzusetzen. Eine Variante, die 2015 als Wettbewerb in der Zeitschrift Thaynger Anzeiger veröffentlicht wurde und seit 2016 in den Schaffhauser Nachrichten publiziert wird, nennt sich Mazarä.
Der präsentierte Inhalt des Wikipedia-Artikels wurde im 2021-10-25 basierend auf extrahiert https://de.wikipedia.org/?curid=10694